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(번역) 모퉁이를 돌아 움직일 수 있는 가장 큰 소파

수십 년 된 '움직이는 소파' 문제에 대한 해답이 새로운 증명으로 밝혀졌습니다. 가장 단순한 최적화 문제에도 직관적이지 않은 해답이 있을 수 있다는 점을 강조합니다.

수학자들은 이 소파보다 큰 소파는 복도 모서리에 갇히게 된다는 사실을 증명했습니다. 물론 이삿짐센터에서는 소파의 끝을 기울이면 문제를 해결할 수 있지만, 수학적 버전에서는 소파가 평평하게 유지되어야 합니다.

퀀타 매거진의 토미 파커

새 집으로 이사한 적이 있다면 부피가 큰 가구를 좁은 복도나 어색한 모서리로 옮기는 것이 얼마나 어려운 일인지 잘 알고 있을 것입니다. 수학자들은 1966년 레오 모저가 이 문제를 양적인 측면에서 설명한 이래로 이 문제를 해결하기 위해 노력해 왔습니다. 2차원 도형인 소파(높이를 무시하고)를 L자형 복도를 통해 옮기고 싶다고 가정해 봅시다. 간단하게 하기 위해 복도의 폭이 한 단위라고 가정해 보겠습니다. 걸리지 않는 가장 큰 도형의 크기는 어느 정도일까요?

복도의 90도 모서리에서 움직일 수 있는 다양한 도형을 찾는 것은 간단합니다. 한 변의 길이가 1인 정사각형이 적합합니다. 반지름이 1이고 넓이가 π/2, 즉 약 1.57인 반원도 마찬가지입니다. 그러나 이러한 도형은 상대적으로 작습니다. 움직이는 소파 문제라고 불리게 된 이 문제를 해결하기 위해 수학자들은 더 영리한 해결책을 찾아야 했습니다.

1992년, 럿거스 대학교의 조셉 거버는 약 2.2195의 면적을 가진 특히 영리한 곡선 모양을 제안했습니다. 수학자들은 이 도형이 모저의 질문에 대한 해답이라고 생각했습니다. 하지만 증명할 수는 없었습니다.

이제 한 젊은 박사후 연구원이 해냈습니다. 서울 연세대학교의 백지연 씨는 119페이지 분량의 논문을 통해 거버의 소파가 복도를 성공적으로 통과할 수 있는 가장 큰 도형임을 보여주었습니다.

이 논문은 60년 된 문제를 해결했다는 점에서만 주목할 만한 것은 아닙니다. 수학자들은 이 추측을 증명하려면 결국 컴퓨터가 필요할 것으로 예상했기 때문에 더욱 주목받았습니다. 백의 증명은 그렇지 않았습니다. 수학자들은 이제 그가 사용한 기법이 다른 종류의 최적화 문제를 해결하는 데 도움이 될 수 있기를 기대하고 있습니다.

더욱 흥미로운 점은 거버의 소파는 익숙한 도형과 달리 면적을 π나 제곱근과 같은 알려진 양으로 표현할 수 없는 방식으로 정의되어 있다는 점입니다. 하지만 아주 간단한 문제인 움직이는 소파 문제에서는 이것이 최적의 해답입니다. 이 결과는 가장 간단한 최적화 문제도 직관적으로는 복잡한 해답을 가질 수 있다는 것을 보여줍니다.

소파와 전화기

움직이는 소파 문제에 대한 첫 번째 주요 진전은 모저가 문제를 제기한 지 불과 2년 후인 1968년에 이루어졌습니다. 존 해머슬리는 두 개의 1/4 원을 직사각형으로 연결한 다음 반원을 잘라내어 오래된 전화기와 비슷한 모양을 만들었습니다. 그 넓이는 π/2 + 2/π, 즉 약 2.2074입니다.

해머슬리는 또한 이 문제에 대한 어떤 해법도 최대 $2 \sqrt{2}$, 즉 약 2.8284의 면적을 가질 수 있음을 보여주었습니다.

몇 년 후, 당시 버클리 캘리포니아 대학교의 대학원생이었던 거버는 이 문제에 대해 알게 되었습니다. "다른 대학원생이 저에게 이 문제를 알려주며 답을 찾아보라고 도전했습니다."라고 그는 말했습니다. "그는 이 문제가 풀리지 않았다고 말한 적이 없었어요. 그래서 며칠 동안 고민했죠. 마침내 그에게 돌아와서 '좋아요, 포기할게요. 해결책이 뭔가요? 그랬더니 그는 말해주지 않았어요! 그는 '그냥 계속 생각해보세요. 언젠가는 알게 될 겁니다."

거버는 그 후 20년 동안 이 문제에 대해 산발적으로 생각했습니다. 하지만 1990년 저명한 수학자 존 콘웨이에게 이 문제를 언급하고 나서야 그는 이 문제가 풀리지 않았다는 사실을 알게 되었습니다. 이 사실을 깨달은 그는 이 문제에 더 많은 시간을 할애하게 되었고, 곧 잠재적인 해결책을 생각해냈습니다.

거버의 소파는 해머슬리의 전화기와 매우 비슷해 보였지만 18개의 서로 다른 부품으로 구성되어 설명하기가 훨씬 더 복잡했습니다. (나중에 밝혀진 사실이지만 벨 연구소의 엔지니어였던 벤 로건은 독자적으로 같은 모양을 발견했지만 자신의 연구 결과를 발표하지 않았습니다). 일부 조각은 단순한 선분과 호로 이루어져 있었습니다. 다른 것들은 좀 더 이국적이고 설명하기 어려운 것들이었습니다.

하지만 거버는 이 복잡한 도형이 최적이라고 생각했습니다. 수학자들이 최적의 소파가 가져야 한다고 생각했던 많은 특징을 가지고 있었고, 윤곽선을 조금만 변형해도 더 큰 면적을 가진 적절한 모양이 나오지 않는다는 것을 증명할 수 있었기 때문이죠.

2016년에 캘리포니아 대학교 데이비스의 수학자 댄 로믹은 거버의 소파에 대해 좀 더 개념적인 설명을 제공했습니다. 그는 22개의 서로 다른 변수가 있는 22개의 방정식 세트를 적었고, 전체 방정식 체계에 대한 유일한 해를 그래프로 그렸을 때 거버가 발견한 음과 같은 모양이 나타났습니다.

이듬해 Romik과 Yoav Kallus는 컴퓨터 지원 기법을 사용하여 소파 면적에 대한 해머슬리의 상한을 낮추어 거버의 하한에 가까워졌습니다. 하지만 그 격차를 완전히 좁힐 수는 없었습니다. 새로운 아이디어가 필요했습니다.

소파의 공간

2016년 미시간대학교 대학원에 입학한 지 얼마 지나지 않아 백 대표는 남성의 의무인 군 복무를 위해 4년간 휴학했습니다. 이 기간 동안 그는 블로그 게시물에서 움직이는 소파 문제를 접했습니다. 처음에는 이 문제를 해결하는 것이 "일과에서 벗어나 휴식을 취하기 위한 방법이었다"고 그는 말했습니다. 하지만 곧 그는 이 문제에 대해 더 진지하게 생각하기 시작했습니다. 그는 거버의 소파가 해결책이라는 것을 증명하는 방법에 대한 아이디어가 있었지만, 아직 세부적으로 정립해야 할 사항이 많았습니다. 2021년 대학원에 복학한 그는 이 문제에 전념하기로 결심했습니다.

일반적으로 수학 박사 과정 학생은 지도교수를 정하고, 지도교수가 연구할 문제를 배정합니다. 하지만 백 씨는 움직이는 소파 문제를 연구하기로 결심했습니다. 미시간대에는 자신에게 적합한 전문성을 갖춘 지도교수를 찾기가 어려웠습니다. 하지만 결국 백 씨는 대수학이라는 먼 분야를 전공한 마이클 지브에게 도움을 요청했습니다. 그는 흔쾌히 승낙했습니다. 지브는 "제가 아는 분야와 이렇게 멀리 떨어져 있는 사람에게 조언을 해본 적이 없습니다."라고 말했습니다. "하지만 저는 학생들에게 거의 모든 것에 대해 조언할 수 있습니다."

박사 과정 중에 백 씨는 칼러스와 로믹의 연구를 바탕으로 더 강력한 계산 도구를 개발하여 상한선을 더욱 낮췄습니다. "진은 제가 본 학생 중 컴퓨터를 가장 잘 다루는 학생입니다."라고 지브는 말합니다. "그는 컴퓨터의 도움으로 여러분이 전혀 짐작하지 못했던 패턴을 찾아낼 수 있습니다."

백 씨는 작년에 대학원 과정을 마쳤을 때 움직이는 소파 문제를 완전히 해결하기 위해 컴퓨터적인 접근 방식을 계속 추구하려고 했습니다. 하지만 불과 몇 달 만에 그는 컴퓨터에 전혀 의존할 필요가 없을지도 모른다는 사실을 깨달았습니다.

수학자들은 이미 이 문제에 대한 해결책이 특정 조건을 만족해야 한다는 것을 알고 있었습니다. 최적의 소파는 특정 방향으로 회전할 수 있어야 하고, 복도 모서리를 위한 공간을 확보하기 위해 바닥을 깎아낸 부분이 있어야 하는 등 여러 가지 속성을 충족해야 했습니다.

이러한 제약 조건을 충족하는 모양은 무한히 많습니다. 백 대표는 최적의 모양은 최소한 거버의 소파와 비슷해야 한다는 것을 보여주며 그 범위를 좁혔습니다. 그런 다음 그는 무한히 많은 소파를 각각 무한 차원 공간의 한 점으로 표현했습니다. 이상적으로는 각 점을 입력으로 삼아 해당 소파의 면적을 출력으로 제공하는 함수를 생각해 냈을 것입니다. 그런 다음 함수의 출력이 가장 큰 지점을 결정하기만 하면 됩니다.

하지만 이는 불가능한 일이었습니다: 모든 종류의 도형에 대해 면적을 구할 수 있는 하나의 공식은 존재하지 않습니다. (원과 삼각형의 넓이를 구하기 위해 서로 다른 함수를 사용하는 것을 생각해 보세요).

그래서 백 씨는 도형의 넓이를 간접적으로 연구하기로 결정했습니다. 그는 Q라는 새로운 함수를 발명했고, 이 함수가 몇 가지 중요한 특성을 갖도록 정의했습니다.

첫째, 그는 공간에 있는 모든 소파에 대해 Q의 출력은 적어도 소파의 면적만큼 크다는 것을 보여주었습니다. 이 함수는 본질적으로 소파가 포함된 도형의 면적을 측정했습니다. 즉, 백 씨가 Q의 최대값을 구할 수 있다면 최적의 소파 면적에 대한 상한선을 알 수 있다는 뜻이었습니다.

이것만으로는 움직이는 소파 문제를 해결하기에는 충분하지 않았습니다. 하지만 백은 거버의 소파에 대해 함수가 단순히 상한값만 제공하지 않도록 Q도 정의했습니다. 이 함수의 출력은 소파의 면적과 정확히 같았습니다. 따라서 백은 입력이 거버의 소파일 때 Q가 최대값에 도달한다는 것을 증명하기만 하면 되었습니다. 즉, 거버의 소파는 모든 잠재적 소파 중 가장 큰 면적을 가지므로 움직이는 소파 문제의 해답이 되는 것입니다.

이때부터 백준석의 Q에 대한 정의가 더욱 중요해졌습니다. 그는 Q가 단순한 포물선처럼 잘 동작하도록 모든 것을 설정했습니다. 이러한 함수의 최대값을 찾는 것은 비교적 쉽습니다. 이 경우 백은 Q를 최대화하면 특정 조건 집합을 만족하는 도형을 얻을 수 있으며, 거버의 소파를 정의하는 방정식도 이러한 조건을 만족한다는 것을 증명할 수 있었습니다.

그는 거버의 소파가 모서리에 걸리지 않고 복도를 통과할 수 있는 가장 큰 도형이라는 것을 보여줌으로써 수십 년 동안의 추측을 해결했습니다.

아직 동료 검토가 진행 중인 이 증명은 최적화 문제에 대한 새로운 접근 방식을 제시합니다. 이 증명은 서로 다른 수학 영역의 기술을 결합하여 컴퓨터의 도움 없이도 엄청나게 어려운 문제를 추적 가능하게 만듭니다. "진이 컴퓨터 없이 이 일을 해냈다는 사실이 인상적이었습니다."라고 지브는 말합니다. "진정으로 중요한 새로운 아이디어가 있다는 것을 보여주었습니다."

이 모든 것이 솔루션을 제안한 지 30년이 넘은 거버를 기쁘게 합니다. "저는 이제 75세입니다."라고 그는 말합니다. "누군가가 마침내 문제를 해결하는 것을 볼 수 있을 만큼 오래 살았다는 것이 행운이라고 생각합니다."