# (번역) 모퉁이를 돌아 움직일 수 있는 가장 큰 소파

수십 년 된 '움직이는 소파' 문제에 대한 해답이 새로운 증명으로 밝혀졌습니다. 가장 단순한 최적화 문제에도 직관적이지 않은 해답이 있을 수 있다는 점을 강조합니다.

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수학자들은 이 소파보다 큰 소파는 복도 모서리에 갇히게 된다는 사실을 증명했습니다. 물론 이삿짐센터에서는 소파의 끝을 기울이면 문제를 해결할 수 있지만, 수학적 버전에서는 소파가 평평하게 유지되어야 합니다.

_퀀타 매거진의_ 토미 파커

새 집으로 이사한 적이 있다면 부피가 큰 가구를 좁은 복도나 어색한 모서리로 옮기는 것이 얼마나 어려운 일인지 잘 알고 있을 것입니다. 수학자들은 1966년 레오 모저가 이 문제를 양적인 측면에서 설명한 이래로 이 문제를 해결하기 위해 노력해 왔습니다. 2차원 도형인 소파(높이를 무시하고)를 L자형 복도를 통해 옮기고 싶다고 가정해 봅시다. 간단하게 하기 위해 복도의 폭이 한 단위라고 가정해 보겠습니다. 걸리지 않는 가장 큰 도형의 크기는 어느 정도일까요?

복도의 90도 모서리에서 움직일 수 있는 다양한 도형을 찾는 것은 간단합니다. 한 변의 길이가 1인 정사각형이 적합합니다. 반지름이 1이고 넓이가 π/2, 즉 약 1.57인 반원도 마찬가지입니다. 그러나 이러한 도형은 상대적으로 작습니다. 움직이는 소파 문제라고 불리게 된 이 문제를 해결하기 위해 수학자들은 더 영리한 해결책을 찾아야 했습니다.

1992년, 럿거스 대학교의 조셉 거버는 약 2.2195의 면적을 가진 특히 영리한 곡선 모양을 제안했습니다. 수학자들은 이 도형이 모저의 질문에 대한 해답이라고 생각했습니다. 하지만 증명할 수는 없었습니다.

이제 한 젊은 박사후 연구원이 해냈습니다. 서울 연세대학교의 [백지연](https://jcpaik.github.io/) 씨는 119페이지 분량의 논문을 통해 [거버의 소파가](https://arxiv.org/abs/2411.19826) 복도를 성공적으로 통과할 수 있는 가장 큰 도형임을 [보여주었습니다](https://arxiv.org/abs/2411.19826).

이 논문은 60년 된 문제를 해결했다는 점에서만 주목할 만한 것은 아닙니다. 수학자들은 이 추측을 증명하려면 결국 컴퓨터가 필요할 것으로 예상했기 때문에 더욱 주목받았습니다. 백의 증명은 그렇지 않았습니다. 수학자들은 이제 그가 사용한 기법이 다른 종류의 최적화 문제를 해결하는 데 도움이 될 수 있기를 기대하고 있습니다.

더욱 흥미로운 점은 거버의 소파는 익숙한 도형과 달리 면적을 π나 제곱근과 같은 알려진 양으로 표현할 수 없는 방식으로 정의되어 있다는 점입니다. 하지만 아주 간단한 문제인 움직이는 소파 문제에서는 이것이 최적의 해답입니다. 이 결과는 가장 간단한 최적화 문제도 직관적으로는 복잡한 해답을 가질 수 있다는 것을 보여줍니다.

## 소파와 전화기

움직이는 소파 문제에 대한 첫 번째 주요 진전은 모저가 문제를 제기한 지 불과 2년 후인 1968년에 이루어졌습니다. 존 해머슬리는 두 개의 1/4 원을 직사각형으로 연결한 다음 반원을 잘라내어 오래된 전화기와 비슷한 모양을 만들었습니다. 그 넓이는 π/2 + 2/π, 즉 약 2.2074입니다.

해머슬리는 또한 이 문제에 대한 어떤 해법도 최대 $2 \sqrt{2}$, 즉 약 2.8284의 면적을 가질 수 있음을 보여주었습니다.

몇 년 후, 당시 버클리 캘리포니아 대학교의 대학원생이었던 거버는 이 문제에 대해 알게 되었습니다. "다른 대학원생이 저에게 이 문제를 알려주며 답을 찾아보라고 도전했습니다."라고 그는 말했습니다. "그는 이 문제가 풀리지 않았다고 말한 적이 없었어요. 그래서 며칠 동안 고민했죠. 마침내 그에게 돌아와서 '좋아요, 포기할게요. 해결책이 뭔가요? 그랬더니 그는 말해주지 않았어요! 그는 '그냥 계속 생각해보세요. 언젠가는 알게 될 겁니다."

거버는 그 후 20년 동안 이 문제에 대해 산발적으로 생각했습니다. 하지만 1990년 저명한 수학자 [존 콘웨이에게](https://www.quantamagazine.org/john-conway-solved-mathematical-problems-with-his-bare-hands-20200420/) 이 문제를 언급하고 나서야 그는 이 문제가 풀리지 않았다는 사실을 알게 되었습니다. 이 사실을 깨달은 그는 이 문제에 더 많은 시간을 할애하게 되었고, 곧 잠재적인 해결책을 생각해냈습니다.

거버의 소파는 해머슬리의 전화기와 매우 비슷해 보였지만 18개의 서로 다른 부품으로 구성되어 설명하기가 훨씬 더 복잡했습니다. (나중에 밝혀진 사실이지만 벨 연구소의 엔지니어였던 벤 로건은 독자적으로 같은 모양을 발견했지만 자신의 연구 결과를 발표하지 않았습니다). 일부 조각은 단순한 선분과 호로 이루어져 있었습니다. 다른 것들은 좀 더 이국적이고 설명하기 어려운 것들이었습니다.

하지만 거버는 이 복잡한 도형이 최적이라고 생각했습니다. 수학자들이 최적의 소파가 가져야 한다고 생각했던 많은 특징을 가지고 있었고, 윤곽선을 조금만 변형해도 더 큰 면적을 가진 적절한 모양이 나오지 않는다는 것을 증명할 수 있었기 때문이죠.

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2016년에 캘리포니아 대학교 데이비스의 수학자 [댄 로믹은](https://www.math.ucdavis.edu/~romik/) 거버의 소파에 대해 좀 더 개념적인 설명을 제공했습니다. 그는 22개의 서로 다른 변수가 있는 [22개의 방정식 세트를](https://arxiv.org/abs/1606.08111) 적었고, 전체 방정식 체계에 대한 유일한 해를 그래프로 그렸을 때 거버가 발견한 음과 같은 모양이 나타났습니다.

이듬해 Romik과 [Yoav Kallus는](https://ykallus.github.io/) [컴퓨터 지원 기법을 사용하여](https://arxiv.org/abs/1706.06630) 소파 면적에 대한 해머슬리의 상한을 낮추어 거버의 하한에 가까워졌습니다. 하지만 그 격차를 완전히 좁힐 수는 없었습니다. 새로운 아이디어가 필요했습니다.

## 소파의 공간

2016년 미시간대학교 대학원에 입학한 지 얼마 지나지 않아 백 대표는 남성의 의무인 군 복무를 위해 4년간 휴학했습니다. 이 기간 동안 그는 블로그 게시물에서 움직이는 소파 문제를 접했습니다. 처음에는 이 문제를 해결하는 것이 "일과에서 벗어나 휴식을 취하기 위한 방법이었다"고 그는 말했습니다. 하지만 곧 그는 이 문제에 대해 더 진지하게 생각하기 시작했습니다. 그는 거버의 소파가 해결책이라는 것을 증명하는 방법에 대한 아이디어가 있었지만, 아직 세부적으로 정립해야 할 사항이 많았습니다. 2021년 대학원에 복학한 그는 이 문제에 전념하기로 결심했습니다.

일반적으로 수학 박사 과정 학생은 지도교수를 정하고, 지도교수가 연구할 문제를 배정합니다. 하지만 백 씨는 움직이는 소파 문제를 연구하기로 결심했습니다. 미시간대에는 자신에게 적합한 전문성을 갖춘 지도교수를 찾기가 어려웠습니다. 하지만 결국 백 씨는 대수학이라는 먼 분야를 전공한 [마이클 지브에게](https://dept.math.lsa.umich.edu/~zieve/) 도움을 요청했습니다. 그는 흔쾌히 승낙했습니다. 지브는 "제가 아는 분야와 이렇게 멀리 떨어져 있는 사람에게 조언을 해본 적이 없습니다."라고 말했습니다. "하지만 저는 학생들에게 거의 모든 것에 대해 조언할 수 있습니다."

박사 과정 중에 백 씨는 칼러스와 로믹의 연구를 바탕으로 더 강력한 계산 도구를 개발하여 상한선을 더욱 낮췄습니다. "진은 제가 본 학생 중 컴퓨터를 가장 잘 다루는 학생입니다."라고 지브는 말합니다. "그는 컴퓨터의 도움으로 여러분이 전혀 짐작하지 못했던 패턴을 찾아낼 수 있습니다."

백 씨는 작년에 대학원 과정을 마쳤을 때 움직이는 소파 문제를 완전히 해결하기 위해 컴퓨터적인 접근 방식을 계속 추구하려고 했습니다. 하지만 불과 몇 달 만에 그는 컴퓨터에 전혀 의존할 필요가 없을지도 모른다는 사실을 깨달았습니다.

수학자들은 이미 이 문제에 대한 해결책이 특정 조건을 만족해야 한다는 것을 알고 있었습니다. 최적의 소파는 특정 방향으로 회전할 수 있어야 하고, 복도 모서리를 위한 공간을 확보하기 위해 바닥을 깎아낸 부분이 있어야 하는 등 여러 가지 속성을 충족해야 했습니다.

이러한 제약 조건을 충족하는 모양은 무한히 많습니다. 백 대표는 최적의 모양은 최소한 거버의 소파와 비슷해야 한다는 것을 보여주며 그 범위를 좁혔습니다. 그런 다음 그는 무한히 많은 소파를 각각 무한 차원 공간의 한 점으로 표현했습니다. 이상적으로는 각 점을 입력으로 삼아 해당 소파의 면적을 출력으로 제공하는 함수를 생각해 냈을 것입니다. 그런 다음 함수의 출력이 가장 큰 지점을 결정하기만 하면 됩니다.

하지만 이는 불가능한 일이었습니다: 모든 종류의 도형에 대해 면적을 구할 수 있는 하나의 공식은 존재하지 않습니다. (원과 삼각형의 넓이를 구하기 위해 서로 다른 함수를 사용하는 것을 생각해 보세요).

그래서 백 씨는 도형의 넓이를 간접적으로 연구하기로 결정했습니다. 그는 _Q라는_ 새로운 함수를 발명했고, 이 함수가 몇 가지 중요한 특성을 갖도록 정의했습니다.

첫째, 그는 공간에 있는 모든 소파에 대해 _Q의_ 출력은 적어도 소파의 면적만큼 크다는 것을 보여주었습니다. 이 함수는 본질적으로 소파가 포함된 도형의 면적을 측정했습니다. 즉, 백 씨가 _Q의_ 최대값을 구할 수 있다면 최적의 소파 면적에 대한 상한선을 알 수 있다는 뜻이었습니다.

이것만으로는 움직이는 소파 문제를 해결하기에는 충분하지 않았습니다. 하지만 백은 거버의 소파에 대해 함수가 단순히 상한값만 제공하지 _않도록 Q도_ 정의했습니다. 이 함수의 출력은 소파의 면적과 정확히 같았습니다. 따라서 백은 입력이 거버의 소파일 때 _Q가_ 최대값에 도달한다는 것을 증명하기만 하면 되었습니다. 즉, 거버의 소파는 모든 잠재적 소파 중 가장 큰 면적을 가지므로 움직이는 소파 문제의 해답이 되는 것입니다.

이때부터 백준석의 _Q에_ 대한 정의가 더욱 중요해졌습니다. 그는 _Q가_ 단순한 포물선처럼 잘 동작하도록 모든 것을 설정했습니다. 이러한 함수의 최대값을 찾는 것은 비교적 쉽습니다. 이 경우 백은 _Q를_ 최대화하면 특정 조건 집합을 만족하는 도형을 얻을 수 있으며, 거버의 소파를 정의하는 방정식도 이러한 조건을 만족한다는 것을 증명할 수 있었습니다.

그는 거버의 소파가 모서리에 걸리지 않고 복도를 통과할 수 있는 가장 큰 도형이라는 것을 보여줌으로써 수십 년 동안의 추측을 해결했습니다.

아직 동료 검토가 진행 중인 이 증명은 최적화 문제에 대한 새로운 접근 방식을 제시합니다. 이 증명은 서로 다른 수학 영역의 기술을 결합하여 컴퓨터의 도움 없이도 엄청나게 어려운 문제를 추적 가능하게 만듭니다. "진이 컴퓨터 없이 이 일을 해냈다는 사실이 인상적이었습니다."라고 지브는 말합니다. "진정으로 중요한 새로운 아이디어가 있다는 것을 보여주었습니다."

이 모든 것이 솔루션을 제안한 지 30년이 넘은 거버를 기쁘게 합니다. "저는 이제 75세입니다."라고 그는 말합니다. "누군가가 마침내 문제를 해결하는 것을 볼 수 있을 만큼 오래 살았다는 것이 행운이라고 생각합니다."