(번역) 수학자들이 증명한 차원 126에는 이상하게 뒤틀린 도형이 포함되어 있습니다
특수 차원의 변칙적인 도형에 대한 65년 된 이야기의 정점을 보여주는 새로운 증명입니다.
크리스티나 아미티지/퀀타 매거진 제공
소개
By Erica Klarreich 기고 통신원May 5, 2025
3차원 공간에 대한 직관이 더 높은 차원의 영역으로 이어진다고 가정하고 싶을 수 있습니다. 결국, 다른 차원을 추가하는 것은 단순히 이동할 수 있는 새로운 방향이 생기는 것일 뿐입니다. 공간의 특징인 끝이 없고 균일하다는 점은 변하지 않습니다.
하지만 차원마다 확실히 다른 개성을 가지고 있습니다. 8차원과 24차원에서는 특히 공을 촘촘하게 포장할 수 있습니다. 다른 차원에서는 회복할 수 없을 정도로 구겨져 보이는 "이국적인" 구체가 있습니다. 그리고 3차원은 매듭을 포함할 수 있는 유일한 차원으로, 그 이상의 차원에서는 매듭의 끝을 꽉 잡고 있어도 매듭을 풀 수 있습니다.
이제 수학자들은 65년 동안 이어져 온 차원의 기묘함에 대한 이야기를 마무리했습니다. 수십 년 동안 연구자들은 어떤 차원에 특히 이상한 모양, 즉 수술이라는 간단한 절차를 통해 구형으로 변환할 수 없을 정도로 뒤틀린 모양이 존재하는지 알고 싶어 했습니다. 수학자들은 이러한 도형의 존재가 서로 다른 차원의 구체 사이의 관계에 대한 위상학의 근본적인 질문과 밀접하게 얽혀 있음을 밝혀냈습니다.
수년에 걸쳐 수학자들은 2차원, 6차원, 14차원, 30차원, 62차원에 꼬인 도형이 존재한다는 사실을 발견했습니다. 또한 이러한 도형은 1차원을 제외한 다른 차원에서는 존재할 수 없음을 보여주었습니다. 126차원의 존재 여부는 아무도 밝혀내지 못했습니다.
이제 세 명의 수학자가 이 마지막 문제를 해결했습니다. 상하이 푸단대학교의 웨이난 린(Weinan Lin(새 탭에서 열기)과 궈젠 왕(Guozhen Wang(새 탭에서 열기), 그리고 로스앤젤레스 캘리포니아대학교의 저우리 쉬(Zhouli Xu(새 탭에서 열기)가 지난해 12월에 발표한 논문에서 126차원이 실제로 이러한 이상하게 꼬인 모양을 수용할 수 있는 드문 차원임을 증명해냈습니다.
옥스퍼드 대학교의 수학자이자 아이작 뉴턴 수리과학연구소의 소장인 울리케 틸만(새 탭에서 열기)은 "매우 긴 프로그램이 마침내 완성된 것"이라고 말했습니다.
컴퓨터 계산과 이론적 통찰력을 결합한 이 증명은 "기념비적인 공학 프로젝트와 같다"고 하버드 대학교의 마이클 홉킨스(새 탭에서 열기)는 말했습니다. "어떻게 해냈는지 입이 떡 벌어질 정도입니다."
최후의 날 가설
1950년대에 수학자 John Milnor(새 탭에서 열기)는 7차원이 "이국적인" 구체(새 탭에서 열기)의 고향이라는 사실을 밝혀 수학계를 놀라게 했습니다. 이색 구체는 늘리거나 변형해도 변하지 않는 도형의 특징만 고려하는 위상학의 관점에서 보면 일반 구체와 똑같아 보입니다. 그러나 두 구체는 부드러움에 대한 정의가 양립할 수 없는데, 일반 구체에서 매끄러운 곡선이 이색 구체에서는 매끄럽지 않을 수 있습니다. 밀너는 어떤 차원에서는 희귀하고 어떤 차원에서는 수천 개에 달하는 것으로 밝혀진 이러한 이색 구를 탐구하고 분류하고자 했습니다.
이를 위해 그는 수술(새 탭에서 열기)이라는 기법을 도입했는데, 이는 수학적 도형 또는 다양체를 단순화하여 잠재적으로 이색 구체로 변환할 수 있는 제어된 방법입니다. 이 방법은 보다 일반적으로 다양체를 연구하는 데 필수적인 방법이 될 것입니다.
이름에서 알 수 있듯이, 수술은 다양체의 한 조각을 잘라낸 다음 잘라낸 경계를 따라 하나 이상의 새 조각을 꿰매는 과정을 포함합니다. 새 조각은 날카로운 모서리나 가장자리가 생기지 않도록 매끄럽게 재봉해야 합니다. (뒤틀린 도형에 대한 질문이 있을 때 수학자들은 매니폴드가 공간에서 어떻게 위치하는지에 대한 기술적 속성인 매니폴드의 '프레임'을 존중하여 재봉할 것을 요구하기도 합니다)
이 과정을 실제로 살펴보기 위해 원환(도넛의 2차원 표면)을 구(공의 2차원 표면)로 외과적으로 변환해 보겠습니다:
사무엘 벨라스코/퀀타 매거진 제공
결과는 평범한 구입니다. 사실 2D 이색적인 구는 존재하지 않습니다. 그러나 특정 차원에서는 수술이 일부 다양체를 일반 구체로 변환하고 다른 다양체를 이색 구체로 변환합니다. 그리고 때로는 구로 전혀 변환할 수 없는 다양체라는 또 다른 가능성이 있습니다.
이 마지막 시나리오를 시각화하기 위해 다시 원환을 살펴볼 수 있지만 이번에는 수술을 방해하기 위해 몇 가지 특별한 왜곡을 가할 것입니다:
사무엘 벨라스코/퀀타 매거진 제공
수학자들은 이 꼬인 원환을 일반적이든 이색적이든 구형으로 바꿀 수 있는 수술이 없다는 것을 증명했습니다. 완전히 다른 종류의 다양체입니다.
1960년 프랑스 수학자 미셸 케르베르는 주어진 매끄러운 다양체에 대해 계산할 수 있는 수인 불변량(새 탭에서 열기)을 생각해냈는데, 이 수치는 다양체를 수술로 구로 변환할 수 있을 때는 0, 불가능할 때는 1과 같습니다. 따라서 일반 원환은 케르베어 불변수가 0이고, 꼬인 원환은 케르베어 불변수가 1입니다.
케르베르는 이 불변량을 이용해 다양한 차원의 가능한 다양체를 탐구했습니다. 심지어 커베어 불변수가 0이나 1이 아닌 10차원 다양체를 생각해내는 데도 사용했는데, 이는 이 다양체가 너무 비뚤어져서 평활성이라는 합리적인 개념을 전혀 가질 수 없다는 것을 의미합니다.
아무도 그런 다양체가 존재할 수 있다고 상상하지 못했습니다. 새로운 불변의 힘에 직면한 수학자들은 서둘러 다양한 차원의 다양체의 케르베어 불변을 알아내기 시작했습니다.
몇 년 만에 그들은 차원 2, 6, 14, 30에서 케르베어 불변수 1의 뒤틀린 다양체가 존재한다는 것을 증명했습니다. 이 차원들은 패턴에 맞습니다: 각 숫자는 2의 거듭제곱보다 작은 2입니다(예: 30은 25 - 2). 1969년 수학자 윌리엄 브라우더는 이 형식의 차원(새 탭에서 열기)만이 케르베어 불변수가 1인 도형을 가질 수 있다는 것을 증명했습니다.
이 형태의 모든 차원에 꼬인 다양체가 존재한다고 가정하는 것은 당연한 일이었습니다: 62, 126, 254 등 모든 차원에 존재한다고 가정하는 것이 당연했습니다. 이 가정을 바탕으로 한 수학자는 이색적인 구체와 다른 도형에 대한 추측으로 전체 건물을 짓기도 했습니다. 하지만 원래 가정이 틀렸을 가능성은 여전히 남아 있었습니다. 이 가설은 다른 모든 추측을 허위로 만들 수 있기 때문에 최후의 날 가설로 알려지게 되었습니다.
줄리 쉬는 대학원에 재학 중 케르베어 가설을 해결하려고 시도하지 말라는 경고를 받았습니다. 하지만 이 문제는 여전히 "끊임없는 매혹의 원천"이라고 그는 말했습니다.
오버볼파흐 수학 연구소 아카이브
실제로 1984년 수학자들은 [62차원(새 탭에서 열기)]에 꼬인 다양체가 존재한다는 것을 보여주었지만(https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s2-30.3.533), 나머지 어떤 차원에서도 그러한 다양체가 존재한다는 것을 증명할 수 있는 사람은 아무도 없었습니다. 계속된 탐색에도 성과가 없자 수학자들은 결국 지쳐갔고 이 문제는 뒷전으로 밀려났습니다.
2009년에 "망각의 흐름을 막기 위해" 수학자 Victor Snaith(새 탭에서 열기)는 브로더의 목록에 있는 모든 차원에서 케르베어 불변수 1을 갖는 다양체를 갖는다는 것이 무엇을 의미하는지 탐구하는 책을 썼습니다. 그러나 스나스는 서문에서 "존재하지 않는 것에 관한 책이 될 수도 있다"고 경고했습니다
만약 스나스가 이 책을 1년 후에 출간했다면 책의 내용은 매우 다르게 읽혔을지도 모릅니다. 책이 출간된 지 몇 주 만에 홉킨스와 다른 두 명의 연구자는 독자들에게 스나이트의 경고가 너무 적절했다고 발표하여 수학자들을 당황하게 했습니다: 종말 가설은 사실이었죠. 그들이 증명한(새 탭에서 열기)](https://arxiv.org/abs/0908.3724)인 케르베어 불변수 1의 다양체는 차원 254 이상에서는 존재할 수 없습니다.
이 결과는 수학자들을 당혹스럽게 만들었습니다. 가능한 차원의 무한한 도형 중에서 정확히 한 차원에 존재하는 도형은 여전히 분류에 저항하고 있었기 때문입니다. 로체스터 대학의 수학자이자 종말 가설 증명의 공동 저자 중 한 명인 더글러스 레이벨(Douglas Ravenel(새 탭에서 열기)의 말에 따르면, "큰 구멍이 있었다"고 합니다 그것은 차원 126의 형태였습니다.
무한대까지 살아남기
2011년, 저우리 쉬는 다양체의 계산적 측면을 연구하기 위해 시카고 대학교에 신입 대학원생으로 입학했습니다. 그의 지도교수인 Peter May(새 탭에서 열기)는 수학자들이 엄청난 계산이 필요할 것으로 생각했던 차원 126의 문제를 제안했습니다. 메이는 쉬를 케르베어 불변량 문제 전문가인 노스웨스턴 대학교의 마크 마호왈드에게 보냈고, 그는 이 문제의 핵심 기호 중 하나인 θj 또는 "테타제이"의 이름을 따서 자신의 보트 이름까지 지었습니다
하지만 2013년에 사망한 마호왈드는 이 제안에 즉각 거부권을 행사했습니다. 차원 126 문제는 너무 어려웠고, 쉬는 "평생의 문제"라고 말했습니다 대신 그는 이 젊은 수학자에게 관련 문제더 낮은 차원(새 탭에서 열기)로 안내했습니다.
하지만 쉬에게는 차원 126 문제가 여전히 "끊임없는 매혹의 원천"으로 남아있었다고 그는 말했습니다.
궈젠 왕은 복잡한 물체를 연구하여 상상을 뛰어넘는 고차원적 도형에 대한 통찰력을 얻습니다.
Guozhen Wang 제공
문제를 해결할 수 있는 잠재적 전략은 미스터리가 아니었습니다. 수학자들은 이색 구와 다른 다양체에 대한 중요한 비밀이 구의 안정 동형 그룹이라는 물체에 암호화되어 있다는 사실을 오래전부터 알고 있었습니다. 이는 고차원 구체에서 저차원 구체로 점을 보내는 함수의 집합, 즉 "매핑"입니다.
예를 들어 44차원 구의 모든 점을 33차원 구의 한 점으로 보내는 매핑을 상상해 보세요. 이 매핑은 기본적으로 더 큰 구의 11개 차원을 축소합니다. 작은 구체에서 어떤 점을 선택하고 여기에 매핑된 큰 구체에서 모든 점을 찾으면 일반적으로 이 점들은 11차원 다양체를 형성합니다.
이제 작은 구체에 있는 모든 다른 점을 생각해 보세요. 대략적으로 말하면, 각 점은 또 다른 11차원 다양체를 제공합니다. 따라서 매핑은 단순히 하나의 11차원 다양체를 만드는 것이 아닙니다. 11차원 다양체의 버킷을 생성합니다.
안정 동형집합은 각 요소가 이와 같은 매핑의 집합인 집합입니다.
수학자들은 주어진 차원에서 케르베어 불변 문제를 해결하려면 해당 차원에 대한 안정 동형집합(새 탭에서 열기)만 이해하면 된다는 것을 알고 있었습니다. 한 가지 어려움이 있습니다: 안정 동형집합을 이해하는 것은 위상수학에서 가장 어렵고 기초적인 문제 중 하나입니다. "제 손녀들이 살아 있는 동안에는 이 문제가 해결될 것으로 기대하지 않습니다."라고 라베넬은 말합니다.
그래서 대신 수학자들은 이 문제에 학위별로 접근합니다. 1958년부터 그들은 안정 동형집합의 구조에 대한 정보를 Adams 스펙트럼 수열(새 탭에서 열기)이라는 거대하지만 미완성된 점의 아틀라스로 정리해 왔습니다.
점과 선의 그림으로 가득 찬 칠판 앞의 남자](https://www.quantamagazine.org/wp-content/uploads/2025/05/WeinanLin_crZhonglinWu.webp)
웨이난 린은 그와 그의 동료들이 고차원 도형의 이상한 속성에 대한 수십 년 전의 추측을 해결하는 데 도움이 되는 컴퓨터 프로그램을 만들었습니다.
우종린
무한한 수의 페이지로 이루어진 책이 있고 각 페이지가 무한히 많은 점의 열로 구성되어 있다고 상상해 보세요. 책을 펼쳐서 한 페이지를 살펴봅시다. 이 페이지의 각 열은 차원을 나타냅니다. 주어진 열의 각 점은 해당 차원의 구체 매핑에 대해 서로 다른 잠재적 '맛'을 나타냅니다. 맛은 항상 '일반' 또는 '엑스트라 크리스피'(또는 커베어 불변 0 또는 1)와 같은 두 가지 유형으로 제공됩니다.
어떤 면에서 이 책은 매우 반복적인데, 각 페이지마다 동일한 열 목록이 있고 각 열에 동일한 점이 많이 있습니다. 하지만 페이지를 넘기다 보면 중요한 차이점을 발견할 수 있습니다: 각 페이지마다 구체 매핑과 다양체에 대한 세부 정보가 연속적으로 자세히 설명되어 있습니다. 아틀라스의 초기 페이지는 사실에 대한 근사치일 뿐입니다. 페이지를 넘길수록 근사치는 점점 더 정확해지며, 아틀라스의 마지막 페이지인 '무한대' 페이지에서는 완벽한 표현이 이루어집니다.
아틀라스를 탐색하는 것은 점점 더 강력해지는 망원경으로 다양체의 우주를 탐험하는 것과 같습니다. 1페이지에서는 각 다양체의 세부 사항이 흐릿하고 실제로 속하지 않는 많은 다양체가 잘못 포함되어 있습니다. 하지만 더 나은 망원경을 만들면 어떤 다양체에 아틀라스에서 제외해야 할 '결함'이 있다는 것을 발견할 수 있을지도 모릅니다. 이 경우 아틀라스의 모든 후속 페이지에서 관련 점을 삭제하면 됩니다. 망원경으로 결함을 발견하지 못하면 그 점은 다음 페이지까지 살아남아 더 강력한 망원경을 사용해 볼 수 있습니다.
1969년, 브라우더는 아틀라스의 126번째 열에 있는 특정 점 하나(새 탭에서 열기)가 그 차원에서 케르베어 불변 문제의 열쇠를 쥐고 있음을 보여주었습니다. 이 점이 무한대 페이지까지 살아남는다면, 126차원 다양체의 버킷은 두 가지 종류가 있어야 합니다: 버킷의 절반은 케르베어 불변 0을 갖는 다양체로 구성되고, 절반은 케르베어 불변 1을 갖는 다양체로 구성될 것입니다. 점이 살아남지 못하면 126차원 다양체는 커베어 불변 0이라는 한 가지 맛으로만 존재합니다.
126열의 특수 점의 경우, 무한대 페이지 이전에 사라질 수 있는 가상의 방법은 105가지가 있습니다. 이러한 가능성을 파악하기 위해 쉬는 오랜 공동 작업자이자 대학 시절 룸메이트였던 왕궈젠과 협력했습니다. 이들은 새로운 계산 기술을 개발하면서 쉬가 대학원 시절부터 알고 지내던 수학자 웨이난 린에게 이를 전수했습니다. 린은 101개의 가능성을 배제할 수 있는 프로그램을 작성했습니다. 그 후 1년 동안 연구진은 마지막 네 가지 가능성을 배제할 수 있는 새로운 방법을 공들여 개발했습니다. 연구진은 브로우더의 특수 점이 무한대까지 살아남는다는 결론을 내렸으며, 이는 126차원이 케르베어 불변수 1을 갖는 다양체를 가지고 있다는 것을 의미합니다.
연구팀이 발표하기 전에는 수학자들은 이러한 계산이 불가능하다고 생각했다고 홉킨스는 말했습니다. 새로운 연구는 "영웅적인 계산"이라고 그는 덧붙였습니다. 이 방법은 결국 수학자들이 거대한 아틀라스를 더 많이 도표화하는 데 도움이 될 수 있습니다.
새로운 논문은 126차원에 이상하게 뒤틀린 도형이 존재한다는 것을 증명하지만, 이를 구성하는 방법에 대한 힌트는 제공하지 않습니다. 연구자들은 처음 네 개의 특별한 케르베어 차원에서 특정한 뒤틀린 모양을 확인했습니다: 2, 6, 14, 30 차원입니다. 그러나 62차원이나 126차원에서는 아직 아무도 발견하지 못했지만, 이러한 모양이 존재하는 각 차원에서는 가능한 모든 모양의 절반을 완전히 차지합니다. 틸만은 이러한 도형이 풍부함에도 불구하고 "실제로 어느 하나를 가리킬 수는 없다"고 말합니다.
수학자들이 62차원과 126차원에서 꼬인 도형을 만드는 방법을 알아낸다면 이 여섯 차원이 특별한 이유, 즉 왜 그 차원에서만 꼬인 도형을 만들 수 있는지에 대한 단서를 얻을 수 있을 것입니다. "보통 이런 일이 발생하면 매우 아름다운 구조가 만들어집니다."라고 홉킨스는 말합니다. "무한히 많은 횟수가 아니라 대여섯 번만 작동해야 하기 때문에 매우 일시적입니다." 새로운 작업은 "이 여섯 가지의 특별한 구조를 찾으려고 노력하는 것이 더 고무적이었습니다."
그리고 케르베어 문제는 아담스 스펙트럼 수열에 인코딩된 차원 이상성의 한 유형일 뿐입니다. 특수한 케르베어 차원은 아틀라스의 두 번째 줄에 있는 여섯 개의 특수한 점에 해당합니다. 최근 쉬와 코펜하겐 대학의 로버트 버클런드(Robert Burklund(새 탭에서 열기)는 아틀라스의 세 번째 줄에서 소수의 특수 차원이 다른 종류의 이상한 행동을 보인다는 것을 알아냈습니다(새 탭에서 열기)](https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01298-6). 이 차원의 특수한 점들에 어떤 종류의 이상한 다양체가 해당하는지는 아직 아무도 모르지만 수학자들은 이를 알아내기를 희망하고 있습니다.
그 다음 행에 대한 발견도 곧 이루어질 것이라고 쉬는 말했습니다. "앞으로 더 많은 이야기가 우리가 탐구하기를 기다리고 있을 것입니다."